Jak hrát v kasinu.

Každého už někdy napadlo, jak to dělají ve filmech hrdinové, když se jim pokaždé povede rozbít v kasinu bank. Asi mají nějaký systém, že?
Jak to dělají?

Nebojte se, žádný geniální systém, který by zaručeně vyhrával neexistuje. Dá se to dokázat. Kdyby totiž existoval, tak by se během několika let zjistilo o co jde, a pak by během krátké chvíle všechna kasina, co jich ve světě je zkrachovala. Protože se tak zatím nestalo, musí to být pravda.

Existují ale profesionální hráči, kteří si v kasinech vydělávají na živobytí. Každý už o nich slyšel. Dokonce kvůli nim existují v kasinech předpisy a postupy, které je mají odhalit a pak vyhodit. Mají snad tito profesionální hráči nějaký systém? Ano, mají. Ale kupodivu nejedná se o nic tajného. Profesionální hráči totiž vědí, kolik mají vsadit do hry.

Aha!

Není to nic tajného. Zkusíme se na ten problém podívat matematicky. Předem se omlouvám matematicky nezaujatým. Jako příklad nám poslouží sázení na červenou a černou barvu, kdy uhodnutí barvy znamená výhru 200% vsazené částky.

Máme tedy nějaké peníze a jdeme do kasina. Otázka zní: „Kolik peněz z celkové částky, dáme do hry?" Logicky vzato, to nebude asi 100%, neboť první nepovedená hra a tradá zpátky do práce. Co takhle 25, 50, nebo 75%?

Vypočítáme si to. Předpokládejme, že máme pravděpodobnost úspěšnosti 50% (to znamená, že naprosto netušíme, jestli bude sázka úspěšná nebo nikoliv). Aby to bylo o něco názornější a jednodušší, tak předpokládejme, že se výhry a prohry pravidelně střídají. Dále předpokládejme, že průměrná výhra je 200% vložené částky, průměrná prohra je 100%. (Poměr výhra/prohra = 2 : 1). Budeme zkoumat jak by to vypadalo, kdybychom vsadili našich uvažovaných 25%, 50% a 75% hotovosti a uděláme si na to tabulku.

Velikost sázky	25%		50%		75%
hotovost	1000		1000		1000
vklad do 1. sázky		250		500		750
1. sázka výhra		+500		+1000		+1500
stav hotovosti	1500		2000		2500
vklad do 2. sázky		375		1000		1875
2. sázka prohra		-375		-1000		-1875
hotovost po 2. sázce	1125		1000		625
vklad do 3. sázky		281,25		500		468,75
3. sázka výhra		562,50		1000		937,50
hotovost po 3. sázce	1687,50		2000		1562,50
vklad do 4. sázky		421,875		1000		1171,88
4. sázka prohra		-421,875		-1000		-1171,88
hotovost po 4. sázce	1265,63		1000		390,62

Z uvedeného jednoznačně vyplývá, že výhry závisí na velikosti vložené částky. Při 25 vsazených procentech máme takový zisk, že po deseti pokusech prakticky zdvojnásobíme svoji hotovost (přesně 1,8 x), při 50 % jsme na nule a při 75% končíme nejpozději po 10 pokusech na dlažbě.

Nyní chceme přesněji zjistit, kolik vlastně vsadit do hry, tak aby náš zisk (při uvedené 50% pravděpodobnosti výhry a poměru zisk/ztráta = 2 : 1) byl co největší. Takže:

S₀ – stav účtu na začátku
S₁ – stav účtu po první (vyhrané) sázce
S₂ – stav účtu po druhé (prohrané) sázce
W – poměr zisk/ztráta (win/loss) – v tomto případě 2:1 tj. W=2
F – procentuální poměr (fraction) z účtu vsazený do hry

Po první (vyhrané) sázce je stav účtu:

S₁ = S₀ + S₀ * F * W = S₀ (1 + F*W)

(vynásobíme stav účtu procentem F a velikostí výhry a celé to připočteme k počátečnímu stavu)

Po druhé (prohrané) sazce je stav účtu:

S₂ = S₁ – F * S₁ = S₁ (1 – F)

(vynásobíme stav účtu procentem a ztrátu odečteme od účtu)
Po dosazení za S₁ vyjde:

S₂ = S₀ (1 + F*W) * (1 – F)

Nyní převedeme S₀ na druhou stranu rovnice.

S₂ / S₀ = (1 + F*W) * (1 – F)

Poměr S₂ / S₀ vyjadřuje přírůstek na účtu po dvou hodech s pravděpodobností 50% (tj jedna výhra jedna prohra. Provedeme nějaké úpravy:

S₂ / S₀ = (1 + FW)(1 – F)
S₂ / S₀ = 1 – F + FW – F²W
S₂ / S₀ = 1 – F(1+W) – F²W

S₂ / S₀ = 1 + F(W-1) – F²W

Velikost účtu lineárně roste s velikostí sázky F, ale zároveň kvadraticky klesá s velikostí sázky F. Pro malé velikosti sázky F se její kvadratická hodnota tolik neuplatňuje, ale s jejím růstem postupně převládá, až nakonec zcela převládne a stahuje funkci do záporných hodnot.

Nyní budeme hledat maximum pro tuto funkci s proměnnou F. Na hledání maxima (minima) funkce se obvykle používá 1. derivace funkce která se položí rovna nule.

delta (S₂ / S₀) / delta F *(1 – F(1+W) – F^₂W) = (W – 1) – 2FW = 0 (tohle je vypočtená ta první derivace, která se rovná nule, abychom zjistili to maximum)

W – 1 = 2FW

po úpravě dostaneme:

F = (W – 1) / 2W

Pro W = 2 vyjde F = 0,25

což znamená, že nejvyššího přírůstku na účtu dosáhneme v případě, že budeme do hry/obchodu sázet 25% velikosti účtu. Pozor, platí to pro případ pravděpodobnosti výhry 50 % za předpokladu, že se výhry a prohry pravidelně střídají a začínáme výhrou.

Graf ukazuje jak velikou budeme mít hotovost po 10 kolech sázení. Je vidět jak to vypadá s výhrami, když budeme zvyšovat postupně procentuální poměr sázek. Sázky větší než 50% vedou časem nutně k prohře veškeré hotovosti. Teoreticky nejvyšší výhru získáme při vsazení 25% naší hotovosti, za předpokladu, že začneme výhrou. V případě, že začínáme první sázku prohrou vychází optimální sázka okolo 16%.

Kellyho rovnice
Není to magistr Kelly, ale matematik Kelly který při výzkumu přenosu informací telefonem odvodil rovnici, která se dá použít i pro sázení. Kellyho rovnice vyjadřuje optimální poměr vložené částky do hry F vzhledem k velikosti hotovosti v závislosti na procentu pravděpodobosti výhry P a na poměru W (Win/Loss, průměrný výnos/průměrá ztráta) pro konkrétní sázkový systém:

F = P – (1 – P)/W

F – procentuální poměr (fraction) z účtu vsazený do hry
W – poměr zisk/ztráta (win/loss) tj. v našem případě 2:1 tj. W=2
P – pravděpodobnost výhry (dlouhodobé procento úspěšných her lomeno neúspěšných) P = 0,5 (50%)

To samozřejmě není všechno, ještě je potřeba vzít do úvahy, kolik ztrátových her za sebou vydržíme, takže si každý určí, jak dlouho chce hrát, než přinesené peníze prohraje.

Ale to už je jiné téma.